I am what I write

Apa sih sebenarnya yang disebut dengan lingkaran itu? Sesuatu yang bulat-bulat? J Secara matematis, lingkaran itu diartikan sebagai himpunan titik pada ruang dua dimensi yang berjarak sama dengan suatu titik tertentu. Itu adalah definisi lingkaran yang paling umum. Jadi, kalau kita ambil sebuah titik: misal (a, b), maka himpunan semua titik yang berjarak r dengan titik (a, b) itu adalah lingkaran. Dengan menggunakan definisi tadi, maka kita dapat mencari bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r. Perhatikan gambar berikut: 

Dari gambar tersebut, terlihat bahwa hubungan antara titik pusat (a, b), titik-titik pada lingkaran (x, y), dan jari-jari (r) dapat dinyatakan sebagai persamaan Phytagoras sebagai berikut:  

Okay… jadi sekarang kita sudah punya definisi formal untuk lingkaran. Tapi, adakah definisi lingkaran yang lain yang ekivalen dengan definisi tadi? Tentu ada… Definisi yang terlintas di benak saya ketika mengajarkan lingkaran kepada murid-murid saya adalah sebagai berikut: 

Lingkaran adalah himpunan semua titik (x, y) jika titik (x, y) tersebut adalah titik siku-siku dari semua segitiga siku-siku yang mungkin terbentuk dari dua titik yang berjarak tertentu.

Susah dimengerti, ya? Hehehe… biar gampang, lihat gambar ini: 

Pada lingkaran, selalu ada hubungan seperti di gambar tersebut. Sudut yang di atas besarnya selalu ½ dari sudut yang di bawah (penurunannya, pikir sendiri aja ya… :p). Oleh karena itu, sudut di bawah adalah π (180 derajat – garis lurus), maka sudut di atas adalah 90 derajat atau siku-siku. Seperti gambar berikut ini: 

Nah…. jadi lingkaran itu terbentuk kalau kita membentuk semua segitiga siku-siku yang mungkin terbentuk dari dari dua titik (a, b) dan (c, d) yang statis… dengan titik (x, y) dimana titik (x, y) selalu menjadi siku-siku segitiga.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Itu adalah ilustrasi bagaimana ide tentang definisi tersebut muncul. Namun, bukti secara aljabar tetap harus dilakukan. Okay… dari gambar terakhir, kita bisa menyimpulkan bahwa hubungan yang terjadi adalah: 

Dan sekarang… yang harus dibuktikan adalah, persamaan tersebut ekivalen dengan persamaan:  

karena lingkaran yang terjadi adalah lingkaran yang berpusat di  dan berjari-jari

Okay… sekarang mari kita jabarkan persamaan sebelumnya:  

Nah… sudah terbuktikan (setidaknya bagian x-nya saja). Bagian y-nya ya sama saja. Itu kan simetris. Jadi… terbuktilah bahwa dua definisi lingkaran ini adalah definisi yang ekivalen. Dua definisi yang berbeda namun ekivalen secara matematis bukanlah hal yang baru. Hal seperti ini juga terjadi pada definisi bilangan e (euler). Setidaknya, saya mengetahui tiga definisi bilangan ini. Yang pertama adalah bahwa bilangan e adalah bilangan yang terbentuk dari fungsi invers dari integral 1/x dengan nilai x=1. Yang ke dua adalah bahwa bilangan e adalah bilangan yang terbentuk jika satu ditambahkan dengan h dan dipangkatkan dengan 1/h dengan h à 0. Dan yang terakhir, bilangan e hasil penjumlahan dari barisan tertentu (lupa persisnya. Kalo nggak salah, 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …). Yah… begitulah pembuktian yang sudah dilakukan mengenai dua definisi lingkaran yang ekivalen. Ada yang punya definisi ke-3?